Look-and-say sequence（見て言って数列）
この記事では，以下のような数列について考えます。 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, $\dots$ 面白い性質と規則性を持った数列です。 Look-and-say sequence さきほどの数列は，以下のような規則性があります。 初項は1 1 は 1 個の 1 なので，第2項は 11 11 は 2 個の 1 なので，第3項は 21 21 は 1 個の 2 と 1...
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たすきがけによる因数分解は覚えなくてもいい
たすきがけによる因数分解のやり方を復習した後，たすきがけを用いない方法を解説します。 たすきがけによる因数分解 たすきがけとは，二次式を因数分解するための方法です。たすきがけを使って $3x^2-10x+8$ を因数分解してみましょう。 手順1. かけて $3$（二次の係数）になる2つの整数を適当に決めて左に縦に並べる 手順2. かけて $8$（定数項）になる2つの整数を適当に決めて右に縦に並べる...
View Article等周問題に関連する高校数学の問題
周の長さが一定である図形の中で面積が最大のものは円です。（等周定理） 等周定理の厳密な証明は少し大変なので，ここでは等周定理に関連して「対称性が高い図形は面積が大きい」というテーマで，高校数学で分かる性質をいくつか紹介します。 長方形の等周問題 まずは，高校数学の基本的な問題から始めてみます。 性質1： 周の長さが一定である長方形の中で，面積が最大のものは正方形。 これを証明してみましょう。 証明...
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極座標における回転体の体積公式
極座標平面において，図のように $\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta)$ で囲まれた，$x$ 軸の上側にある図形を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は， $\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta...
View ArticleHlawka’s Inequality とその証明
Hlawka’s Inequality： 任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して， $|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\ \geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$ Hlawka’s Inequality（フラカの不等式）について紹介します。 Hlawka’s Identity Hlawka’s Inequality を証明する前に，関連する恒等式である Hlawka’s...
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Popoviciu の不等式
Popoviciu の不等式： $f(x)$ が下に凸な関数のとき，任意の $x,y,z$ に対して(※)， $f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ \geq...
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【新刊】超ディープな算数の教科書が発売されました
当サイトの管理人が，ルール（定義）と事実（定理）をきちんと区別してほしい！ というテーマで、算数の本を出版しました。 自信作です。ぜひ書店にて中身を確認していただければ嬉しいです。 紀伊國屋書店：「超ディープな算数」 ジュンク堂書店：「超ディープな算数」 メインテーマ 世の中には2種類の人間がいます： 1. 定義と定理の違いを理解していない or 意識していない人 2....
View Article超幾何級数の定義と例
この記事では，超幾何級数について紹介します。いくつか例を見ながら，超幾何級数に慣れ親しみましょう。 超幾何級数の定義 超幾何級数とは，以下の式で定義される ${}_rF_{s}(z)$ のことです。 ${}_rF_{s}(a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z)\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a_1)_n\cdots...
View Article数列における余りの周期性（特にフィボナッチ数列）
数列における余りの周期性について，以下の2つの話題を紹介します。 漸化式で表される数列における，割り算の余りの周期性（受験レベル） 特に，フィボナッチ数列における周期について（難しい） 余りの周期性 漸化式で表される数列の各項を特定の整数 $p$ で割った余りを考えると，ループするという性質が（多くの場合）成立します。 例えば，$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$...
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原始ピタゴラス数の木
定理： すべての原始ピタゴラス数は，$\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ に対して，3つの行列 $A,B,C$ のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし， $A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}$，...
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