マクローリン（Maclaurin）の不等式
$n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき，
$d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$
なお，マクローリン展開をもとにした不等式（→マクローリン型不等式（指数関数））とは全く別物なので，ご注意ください。
具体例（$n=3$ の場合）
$d_1=\dfrac{a+b+c}{3}$
$d_2=\dfrac{ab+bc+ca}{3}$
$d_3=abc$
なので，マクローリンの不等式は，（非負の $a,b,c$ に対して）
$\dfrac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}\geq \sqrt[3]{abc}$
となります。
相加相乗の拡張
マクローリンの不等式の両端だけ持ってきたもの：
$d_1\geq d_n^{\frac{1}{n}}$
は，まさに（$n$ 変数の）相加相乗平均の不等式です。
つまり，マクローリンの不等式は相加相乗平均の不等式の拡張とみなせます。
ニュートン→マクローリンの証明
ニュートンの不等式：
$d_k^2\geq d_{k-1}d_{k+1}\:(k=1,2,\cdots,n-1)$
を認めたうえでマクローリンの不等式を導きます。
（注：$d_0=1$ です）
証明
$k=1,2,\cdots,n-1$ に対して，
$d_k^{k+1}\geq d_{k+1}^k$
を示すのが目標。ニュートンの不等式を $k$ 本並べてみると，
$d_1^2\geq d_2$
$d_2^2\geq d_1d_3$
$d_3^2\geq d_2d_4$
$\vdots$
$d_k^2\geq d_{k-1}d_{k+1}$
（$d_1$ から $d_{k-1}$ が消えるのを狙い）上から $t$ 個目の式を両辺 $t$ 乗（$t=1,\cdots,k$）してから全ての式をかけ合わせると，
$d_k^{2k}\geq d_k^{k-1}d_{k+1}^k$
つまり，
$d_k^{k+1}\geq d_{k+1}^k$
を得る。