対称式に関するマクローリンの不等式
マクローリン（Maclaurin）の不等式 $n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき， $d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$...
View Articleフランダースの不等式とその証明
フランダース（Flanders）の不等式： 任意の三角形 $ABC$ について， $\sin A\sin B\sin C\leq\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3ABC$ Abi-Khuzam の不等式とも言います。右辺の $ABC$ は，角 $A$，角 $B$，角 $C$ それぞれの（弧度法での）大きさの積という意味です。角度とその $\sin$...
View Article有限体（ガロア体）の基本的な話
位数（要素数）が $q$ の有限体が存在する $\iff$ ある素数 $p$ と正の整数 $n$ が存在して $q=p^n$ 有限体とは 位数が有限である体を有限体（またはガロア体）と言います。大雑把に言うと，四則演算ができる有限集合のことです。 位数が $q$ である有限体（実は，同型を除いて一通りに定まる）を $F_q$，$GF(q)$ などと表記します。 $GF(2)$ 具体例として，位数が...
View Article楕円の接線を求める公式とその証明
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $P(x_0,y_0)$ における接線の方程式は， $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ 楕円の接線を求める公式について 楕円の方程式において $x^2\to x_0x$，$y^2\to y_0y$ とするだけなので覚えやすいです。 $a=b$...
View Articleボールウェイン積分
$0$ 以上の整数 $n$ と，$\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_n$ に対して， $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}$...
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ルモアーヌ点（類似重心）とその性質
三角形 $ABC$ において，「中線を角の二等分線に関して折り返した直線」は $3$ 本あるが，それらは $1$ 点で交わる。 この点をルモアーヌ点（類似重心，Symmedian Point，Lemoine Point）と言う。 ルモアーヌ点の存在証明 より一般に，以下の定理が成立します。 三角形 $ABC$ と点 $P$ がある。 角の頂点を通る直線 $l$ と角の二等分線に関して対称な直線...
View Article円分多項式とその性質
$\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}=\cos \dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$（$n$ 乗して $1$ になる数のうちの一つ）とおく。多項式 $F_n(x)=\displaystyle\prod_{k\in A_n} (x-\zeta_n^k)$ を円分多項式（円周等分多項式）と言う。 ただし，$A_n$ は $1$ 以上 $n$...
View Article原始関数の定義といろいろな例
微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と言う。 前半は簡単な具体例です。後半は原始関数が初等関数で表せない具体例を紹介します。 簡単な具体例 $x^3$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3$ は $f(x)=3x^2$ の原始関数（の一つ）。 $x^3+100$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3+100$ は...
View Articleガウス整数とその応用
整数 $a,b$ を用いて $a+bi$ と表される複素数をガウス整数（複素整数）と呼ぶ。 関連する用語 ガウス整数全体の集合をガウス整数環と言います。 「ふつうの」整数を有理整数と言うこともあります。また，有理整数全体の集合を有理整数環と言います。 ガウス整数における倍数，約数の定義は有理整数の場合と同様です。つまり，ガウス整数 $a,b$ に対して $a=bc$ となるガウス整数 $c$...
View Article単項式，多項式，整式
単項式，多項式，整式という用語について。および，多項式と間違えやすいけど多項式でないものについて。 流儀1（主に高校数学） 単項式 数，文字，およびそれらの積として表される式のこと。 例: $3.14$，$x$，$2xy^2$，$3abc$ 数の部分を係数，かけあわされている文字の個数（種類数ではない）を次数と言います。 例: $2xy^2$ の係数は $2$，次数は $3$。 多項式...
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ブライスのパラドックス
ブライスのパラドックス（Braess’s paradox）： 移動時間短縮のために新しい道路を作った結果，移動時間がかえって長くなってしまうことがある。 問題設定 $S$ から $T$ に $10$ 人の人が移動する。 $A$ を経由する経路と $B$ を経由する経路の2通りある。各々好きなルートを選べる。 $S\to B$，$A\to T$ の移動には $10$ 分かかる。 $S\to...
View Article計算ミスを減らすための4つの方法
計算ミスを完全になくすことはできませんが、減らすための努力は大事です。具体的な方法を 4 つ紹介します。自分に合いそうなものだけでよいので実践してみてください。 計算ミスを記録する 自分がやらかした計算ミス（他の凡ミスも含む）を，専用のノート（メモ）に簡潔に記録します。 例 ミスの概要，ミスの詳細，正しい計算 符号ミス， $x-(-2x)=-x$，$x-(-2x)=3x$...
View Article複素数の範囲での因数分解の例題4問
与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは，○○係数の多項式の積に（できるだけ細かく）分解するという意味。 （○○には複素数，整数，有理数，実数などが入る） 因数分解の問題で特に指示がない場合は「整数の範囲で」因数分解すればOKですが，この記事では複素数の範囲での因数分解について考えます。 因数分解の方法 二次多項式 $x^2+ax+b$ は， $x^2+ax+b=0$ の解を $x_1,...
View Article順列と組合せの違いと例題
順列：順番を区別する 組合せ：順番を区別しない 前半は順列，組合せの意味。後半は練習問題です。 順列（パーミュテーション）の意味 $m$ 個のものから $n$ 個を選んで並べたもの（順列）の総数を ${}_m\mathrm{P}_n$ と書きます。 例題1 $3$ 枚の異なるカード A,B,C から $2$ 枚選んで並べる場合の数を求めよ。 ABとBAは順列としては別物です。 解答...
View Article音階と数学
（平均律における）音階と周波数比について。等比数列，累乗根という数学の基本的な道具が登場します。 音階と周波数（平均律） ある「ド」の音の周波数を $f$ とすると，その1オクターブ上の「ド」の音の周波数は $2f$ になります。そして，その間を（比の意味で）12等分し，間の音を定めます。公比が $\sqrt[12]{2}$ の等比数列です！ 音階 周波数 近似値 ド...
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三角形の中心（36個）を図示してみた
三角形の中心としては，五心（外心，内心，重心，垂心，傍心）が有名ですが，実は他にもたくさんあります。 ETCというサイトに，9500以上の中心が載っています！ その中でも有名なもの，僕が好きなものなどを 36 個選んで図示してみました。 三角形の中心の図 正三角形から徐々に形を変化させています。なお，中心の位置は上記のサイトの重心座標の情報をもとに，直交座標に変換してプロットしています。...
View Article連立漸化式の3通りの解き方
連立漸化式： $a_{n+1}=Aa_n+Bb_n$ $b_{n+1}=Ca_n+Db_n$ の3通りの解き方を，例題を通じて解説します。 三項間漸化式に帰着させる方法 $a_n$，$b_n$ のいずれか片方を消去することで，三項間漸化式に帰着させます。自分は高校時代，この解法を使っていました。 例題 $a_1=2$，$b_1=-1$ のもとで，連立漸化式 $a_{n+1}=3a_n+b_n$...
View Article双曲線関数の加法定理とその証明
1: $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$ 2: $\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$ 3: $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$ 4: $\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$ 5: $\tanh...
View Article分母の有理化のいろいろな例題
分母にルートや累乗根が入った式を有理化する方法，および例題を解説します。 なお，この記事では $a,b,c,d$ は有理数とします。 ルートが入った式の有理化（中学数学レベル） 例題 分母を有理化せよ。 (1) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ (3) $\dfrac{4}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$...
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複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）
2016年東大理系第4問を解説します。 問題と解答 新課程になってからはじめて，東大で複素数平面の問題が出題されました。 問題 $z$ を複素数とする。複素数平面上の三点 $A(1)$，$B(z)$，$C(z^2)$ が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め，図示せよ。 解答 $AB=|1-z|$ $BC=|z-z^2|=|z|\cdot |1-z|$...
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