整数 $a,b$ を用いて $a+bi$ と表される複素数をガウス整数（複素整数）と呼ぶ。
関連する用語
ガウス整数全体の集合をガウス整数環と言います。
「ふつうの」整数を有理整数と言うこともあります。また，有理整数全体の集合を有理整数環と言います。
ガウス整数における倍数，約数の定義は有理整数の場合と同様です。つまり，ガウス整数 $a,b$ に対して $a=bc$ となるガウス整数 $c$ が存在するとき，$a$ は $b$ の倍数（$b$ は $a$ の約数）と言います。
素因数分解（既約元分解）
ガウス整数環における「素数」をガウス素数と言います。つまり，（$\pm 1,\pm i$ と異なる）2つのガウス整数の積で表せないもの（で$\pm 1,\pm i$ は除く）のことです。
例えば $2$ は有理整数の範囲ではこれ以上分解できませんが，ガウス整数では $(1+i)(1-i)$ と分解できるのでガウス素数ではありません。
ガウス整数環においても「ふつうの」整数の場合と同様に素因数分解の一意性が成立します（ガウス整数環は一意分解整域）。
ただし，$-1$ または $\pm i$ 倍で移れるガウス素数は「同じ」ものとみなします。
（例えば $2=(1+i)(1-i)=(-1+i)(-1-i)$ は同じ分解）
応用
ガウス整数の応用として，ピタゴラス数についての以下の定理を証明してみます（→ピタゴラス数の求め方とその証明）。
$a^2+b^2=c^2$ を満たす正の整数の組の中で $a,b,c$ の最大公約数が1のものは，正の整数 $m,n$ を用いて $a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2$
という形で表せる。
証明
$a^2+b^2=c^2$ は
$(a+bi)(a-bi)=c^2$
と変形できる。$(a+bi)$ と $(a-bi)$ は互いに素（→補足）であり，それらの積が平方数なので，両方とも平方数である（→注意）。
つまり，整数 $m,n$ を用いて，
$(a+bi)=(m+ni)^2=m^2-n^2+2mni$ とおける。つまり，
$a=m^2-n^2,b=2mn$
となる。さらに， $c=m^2+n^2$ となる。
（$b > 0$ より $m,n$ は同符号。さらに $(m+ni)^2=(-m-ni)^2$ より）$m,n$ は正の整数に取れる。
補足
背理法で証明する。$(a+bi)$ と $(a-bi)$ がともに $d\:(\neq \pm 1,\pm i)$ の倍数とすると，和と差を取ることにより，$2a$ と $2bi$ も $d$ の倍数であることが分かる。
$a$ と $b$ は互いに素なものを考えているので，$d=2$（または $-2,\pm 2i$）
このとき，$(a+bi)(a-bi)$ が $4$ の倍数，つまり $c$ が偶数となる。これは矛盾（$4$ で割った余りを考えることにより $c$ は奇数であることが必要→平方剰余）。
注意
ここでガウス整数における「素因数分解の一意性」を使っています。