与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは，○○係数の多項式の積に（できるだけ細かく）分解するという意味。
（○○には複素数，整数，有理数，実数などが入る）
因数分解の問題で特に指示がない場合は「整数の範囲で」因数分解すればOKですが，この記事では複素数の範囲での因数分解について考えます。
因数分解の方法
二次多項式 $x^2+ax+b$ は，
$x^2+ax+b=0$ の解を $x_1, x_2$ とすると，
$x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)$
のように（複素数の範囲で）因数分解できます（$n$ 次多項式でも同様，複素数の範囲なら必ず一次式の積に分解できる）。
簡単な例題
例題1（二次式）
$x^2+2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
解答
整数の範囲ではこれ以上因数分解できない。
$x^2+2x+3=0$ の解は解の公式より $x=-1\pm\sqrt{2}i$
よって，複素数の範囲で因数分解すると，
$x^2+2x+3=(x+1+\sqrt{2}i)(x+1-\sqrt{2}i)$
例題2（四次式）
$x^4-x^2-2$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
解答
$x^2$ をひとかたまりと見ることにより，$(x^2-2)(x^2+1)$
と因数分解できる。整数の範囲ではここまで。
さらに，実数の範囲では，$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+1)$
と因数分解できる。
さらに，複素数の範囲では，
$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+i)(x-i)$
と因数分解できる。
発展例題
例題3
$x^n-1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
解答
$x^n-1=0$ の解は，（$\zeta=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ とおくと）$\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^n=1$ の $n$ 個である。
よって，
$x^n-1=\displaystyle\prod_{k=1}^n(x-\zeta^k)=(x-\zeta)(x-\zeta^2)\cdots (x-\zeta^n)$
例題4
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
解答
$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおく（$\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$）と，
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\\
=(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2y+\omega z)$
（$x$ についての二次方程式を解くことでも導出できるし，１の三乗根オメガの性質を用いて式の正しさ証明することもできる）